roberto.scotto@gmail.com
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)Carácter de la asignatura: Obligatoria
Periodo de dictado: Segundo cuatrimestre
Número de semanas que dura el curso: 15
Carga horaria total: 90
Este curso pretende introducir al alumno a los aspectos básicos y fundamentales de la teoría de funciones de variable compleja. Tales conceptos son necesarios para entender las clásicas aplicaciones de esta teoría a problemas de geometría, análisis y física-matemática.
Semana | Temas a desarrollar |
---|---|
1 | El cuerpo de los números complejos. El plano complejo. Representación polar y las raíces de números complejos. Rectas y semiplanos en el plano complejo. El plano complejo ampliado y su representación esférica. Límite y continuidad de funciones. |
2 | Definición de función C-diferenciable y de función analítica u holomorfa. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Transformaciones conformes. |
3 | Transformaciones conformes. Transformaciones de Möbius |
4 | Transformaciones conformes. Series de Potencias. |
5 | Series de Potencias. Teoremas 1 y 2 de Abel. Funciones trascendentes: exponencial, trigonométricas y logaritmo. Definición de rama del logaritmo y de la función potencia. |
6 | Series de Potencias. Teoremas 1 y 2 de Abel. Funciones trascendentes: exponencial, trigonométricas y logaritmo. Definición de rama del logaritmo y de la función potencia. |
7 | Integrales de línea. Propiedades de la integral de línea. Relación de la integral de línea con las funciones holomorfas. Teorema de Cauchy-Goursat. |
8 | Existencia de primitiva de funciones holomorfas en el disco. Fórmula de Cauchy en el disco. Representación local en series de potencias de las funciones holomorfas. |
9 | Parcial 1. Equivalencias de la definición de holomorfía. Principio de continuación analítica. Desigualdades de Cauchy. El teorema de Liouville. Teorema fundamental del álgebra. |
10 | Principios del máximo y del mínimo. Propiedad del valor medio. Teorema holomorfo de la función inversa. Teorema de la función abierta. |
11 | Índice de un ciclo respecto de un punto. Ciclos homólogos a cero respecto de un abierto. Lema de Cauchy-Pompeiu. |
12 | Teorema de Cauchy global. Equivalencias sobre un dominio simplemente conexo. |
13 | Singularidades aisladas. Clasificación y caracterizaciones. El teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales impropias. |
14 | Parcial 2. Principio del argumento. Teorema de Rouchè. Aplicaciones. Series de Laurent. |
15 | Funciones armónicas. Definición y propiedades básicas. El problema de Dirichlet en el disco. |
Para la Regularidad se tomarán cuatro controles y se la logra aprobando tres de ellos.
Para la promoción se rendirán 3 (tres) Parciales: dos prácticos y uno teórico. Se calcula la Nota Final como el promedio de los parciales. Lograrán Promoción Directa aquellos alumnos regulares que obtengan una Nota Final mínima de 70/100 (setenta) puntos, con no-menos de 50/100 (cincuenta) en cada uno de los parciales.
Se puede recuperar solamente un parcial pero el recuperatorio es Globalizador, que sirve tanto para alcanzar la promoción como para levantar nota en caso de algún interesado. La nota del globalizador reemplazará la peor nota de los parciales sólo si fuera mayor. No puede usarse el globalizador para aquéllos que tienen al menos un parcial con menos de 30/100 (treinta). La nota del globalizador reemplaza la nota de uno de los parciales para la determinación del promedio de los mismos para la promoción directa.
Aquellos alumnos que no logren promoción directa, deberán rendir un examen final.
Los alumnos libres deberán rendir un examen final como los regulares más un par de ejercicios prácticos y teóricos.