UNIVERSIDAD NACIONAL DEL LITORAL   |   FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA 
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Probabilidad


Profesor responsable

Plantel docente que participa en el dictado

Carácter de la asignatura: Obligatoria

Periodo de dictado: Segundo cuatrimestre

Número de semanas que dura el curso: 15

Carga horaria total: 105

Objetivos

La materia está orientada a introducir al alumno a la teoría matemática de probabilidades desde un andamiaje formal riguroso orientado especialmente a una audiencia matemática, pero sin necesidad de que el alumno tenga conocimientos de Teoría de la Medida ni de la Integral de Lebesgue. La esperanza matemática de una variable aleatoria es tratada usando la integral de Riemann-Stieltjes. El curso comprende el tratamiento de: distintas interpretaciones del concepto de probabilidad. Modelo matemático para un experimento aleatorio. Experimentos y sucesos. Algebras, sigma-álgebras y sigma-álgebras generadas. La axiomática de Kolmogorov. Espacios de probabilidad. Espacios muestrales finitos. Métodos de conteo. Independencia. Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes. Variables y vectores aleatorios. Distribuciones discretas, continuas y singulares. Función de distribución acumulativa. La distribución de una variable aleatoria como probabilidad sobre los Borelianos. Distribuciones de funciones de variables y vectores aleatorios. El método del Jacobiano. Las distribuciones mas usuales. Distribuciones multivariadas. Distribuciones marginales y condicionales. La esperanza de una variable aleatoria y sus propiedades. Momentos. Varianza y sus propiedades. Covarianza y correlación. Teoremas de convergencia para sucesiones de variables aleatorias: el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia dominada. Función generatriz de momentos. Distribución y esperanza condicionales. Sucesiones de variables aleatorias. Convergencia casi segura y convergencia en probabilidad. La Ley de los grandes números. Las leyes Fuerte Débil de los grandes números. El lema de Borel-Cantelli. Las leyes de Bernoulli, de Kolmogorov y de Borel. Función característica. Convergencia en distribución. Los teoremas de Helly-Bray y de Paul-Lévy. Función característica de un vector aleatorio. El teorema de Cramer-Wold. El teorema central del límite de Lindeberg. El teorema central del límite de Liapunov.

Cronograma de desarrollo de actividades-temas

SemanaTemas a desarrollar
1Historia de la probabilidad. Diferentes interpretaciones del concepto "Probabilidad". Experimentos aleatorios. Modelo matemático para un experimento aleatorio. Espacio muestral. Álgebras, sigma-álgebras y sigma-álgebras generadas.
2Definición axiomática (de Kolmogorov) de Probabilidad. Propiedades de una probabilidad. Probabilidad condicional. Teorema de la multiplicación. Teorema de la probabilidad total.
3Fórmula de Bayes. Independencia de eventos. El proceso de Poissón. Variables aleatorias: definición. Función de distribución acumulativa. Propiedades.
4Tipos de variables aleatorias: discretas, continuas, singulares. Caracterización. La función de Cantor. Variables aleatorias mixtas. Descomposición de una variable aleatoria en sus componentes discreta, absolutamente continua y singular.
5La distribución de una variable aleatoria. Las distribuciones mas usuales. Vectores aleatorios. La distribución de un vector aleatorio. Independencia de variables aleatorias. Criterios de independencia.
6La distribución normal bivariada. Distribuciones marginales. Distribuciones de funciones de variables y vectores aleatorios. La distribución de la suma de dos variables aleatorias. El método del Jacobiano para transformaciones biyectivas. El método del Jacobiano para transformaciones n-a-1. Los estadísticos de orden de una muestra aleatoria y su distribución.
7Esperanza matemática de una variable aleatoria. Propiedades. Variables aleatorias integrables. interpretación geométrica de la esperanza matemática. La desigualdad de Jensen. Criterios de integrabilidad.
8Esperanza de funciones de variables aleatorias. Momentos. Media, mediana y varianza. Propiedades. La desigualdad básica de Tchebychev. La desigualdad clásica de Tchebychev. La desigualdad de Markov.
9Esperanza de funciones de vectores aleatorios. Covarianza y correlación. El coeficiente de correlación. Propiedades. Teoremas de convergencia para sucesiones de variables aleatorias. El teorema de la convergencia monótona. El teorema de la convergencia dominada.
10Distribución y esperanza condicionales. Las leyes fuerte y débil de los Grandes Números. Convergencia en probabilidad. Convergencia casi segura. La ley débil de Tchebychev. La ley de los Grandes Números de Bernoulli. la ley débil de Khintchin.
11Sucesiones de eventos y el lema de Borel-Cantelli. Recíproco de la ley fuerte de Kolmogorov. Desigualdad de Komogorov. Primera ley fuerte de Kolmogorov.
12Segunda ley fuerte de Kolmogorov. La ley fuerte de Borel. Números simplemente normales, enteramente normales y absolutamente normales.
13Función característica de una variable aleatoria. Propiedades. la fórmula de inversión. Convergencia en distribución. El teorema de Helly-Bray. El teorema de continuidad de Paul-Levy.
14Relación entre convergencia en distribución y convergencia puntual de las funciones características. Normalidad asintótica. El teorema central del límite para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Función característica de un vector aleatorio. El teorema de Cramer-Wold.
15Convergencia de funciones de sucesiones de variables aleatorias. Teorema de Scheffé. Teorema de Slutsky. Caracterización de las funciones características. El teorema de Bochner-Khintchin. El teorema central del límite de Lindeberg. El teorema central del límte de Liapunov. La distribución normal multivariada. El teorema central del límite para el caso multivariado.

Bibliografía

Requisitos para obtener la regularidad

Se tomarán dos examenes parciales, todos de carácter teórico-práctico. Los dos primeros problemas de cada parcial serán “controles” consistentes en ejercicios y/o preguntas de carácter conceptual y estarán destinados a la regularidad. Además, periódicamente se requerirá la entrega de soluciones a problemas previamente asignados.

Para la regularidad se requerirá i) obtener al menos el 40% del puntaje asignado a los “controles” en cada uno de los dos parciales, ii) obtener al menos el 60% en los problemas que sean requeridos en las clases prácticas y iii) tener al menos el 80% de asistencia a las clases prácticas.

Régimen de promoción de la asignatura

A los efectos de la promoción y nota final se asignarán los siguientes pesos relativos a cada uno de los factores de evaluación: 30% a los problemas y 35% a cada uno de los dos parciales. Aquel alumno que cumpla las condiciones requeridas para la regularidad y obtenga una nota final no inferior al 65% se considerará promocionado y estará eximido de rendir el examen final.

Carreras a las que pertenece

Materias correlativas

Tribunal Examinador