Teoría de grupos. Subgrupos. Homomorfismos. Grupos de permutación. Teoremas de Sylow. Grupos abelianos finitos. Teoría de anillos. Homomorfismos. Ideales y anillos cociente. Anillos euclidianos. Espacios vectoriales y módulos. Teoría de cuerpos. Teoría de Galois.

• Herstein, I. Topics in Algebra, Wiley, 1975.
• Lang, S. Algebra, 3ra. edición, Addison-Wesley, 1993.
• Van der Waerden, B. Algebra, Vol. 1 y 2, 1970.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: el problema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Kovalevsky. El problema de Cauchy para la ecuación de ondas en R, R² y R³. La ecuación de ondas no homogénea. La ecuación de Laplace. Función de Green. El problema de Dirichlet en una bola de Rⁿ. Método de Perron. La ecuación de Poisson. La ecuación del calor. Núcleo de Gauss. Principio del máximo. Problema de Cauchy no homogéneo.

• John, F. Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982.
• Peral Alonso, I. Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley/ Universidad Autónoma de Madrid, 1995.
• Evans, L.C. Partial Differential Equations, Graduate Studies in Math. Vol. 19, AMS, 1998.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacios topológicos. Conexidad y compacidad. Axiomas de numerabilidad y separación. Teorema de Tychonoff. Teoremas de metrización.

• Dugundji, J. Topology. Allyn and Bacon, 1974.
• Kelley, J. Topología General. EUDEBA, 1962.
• Munkres, J. Topology, Prentice-Hall, 1975.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Variedades diferenciables. Vectores tangentes y diferenciales. Subvariedades. Difeomorfismos. Teoremas de la función inversa. Teoremas de funciones implícitas. Campos vectoriales. El Teorema de Frobenius. Tensores y álgebra exterior. Campos tensoriales y formas diferenciales. La derivada de Lie. Integración en variedades. Orientación. Integración. Cohomología de de Rahm. Grupos de Lie y álgebras de Lie. Homomorfismos. Subgrupos de Lie. Grupos de Lie simplemente conexos. La exponencial. Subgrupos cerrados. Variedades homogéneas.

• Spivak, M., Calculus on Manifolds, Benjamin Inc., New York, 1965.
• Warner, Frank W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-Verlag, New York, 1983.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias. Problemas de valores iniciales y de frontera para ecuaciones diferenciales.

• Atkinson, K.E. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd. edition, Wiley, New York, 1989.
• Mitchell, A.R. y Griffiths, D.F. The Finite Difference Method in Partial Differential Equations, Wiley, Chichester, 1980.
• Strang, G. y Fix, G.J. An analysis of the FEM, Prentice-Hall, E. Cliffs, 1973.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacios métricos. Completación. Compacidad. Espacios normados. Categoría y espacios separables. Espacios de Banach. Desigualdades de Hölder y Minkowski. La completación de un espacio vectorial normado. Normas equivalentes. Espacios cociente. Completación de un espacio cociente. Espacios de Hilbert. Desigualdad de Bessel. Conjuntos ortonormales completos. Identidad de Parseval. Subespacios cerrados y el teorema de proyección. El teorema de Hahn-Banach. Funcionales lineales acotados. Espacio dual. Teorema de representación de Riesz para funcionales lineales sobre espacios de Hilbert. Reflexividad de espacios de Hilbert. Convergencia débil y transformaciones lineales acotadas entre espacios de Banach. Convergencia en L(X,Y) y el principio de acotación uniforme. Transformaciones cerradas y el teorema del gráfico cerrado.

• Bachman G. y Narici L. Functional Analysis. Academic Press, 1966.
• Conway, J. A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
• Mukherjea, A. y Pothoven, K. Real and Functional Analysis, Plenum Press, 1978.
• Royden, H.L. Real Analysis., MacMillan, 1968.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Análisis convexo. Funciones convexas, generalizaciones. Condiciones de optimalidad y dualidad. Condiciones de Fritz-John y Karush-Kuhn-Tucker. Calificadores de restricción. Dualidad Lagrangiana y condiciones de óptimo de Punto de Montura. Algoritmos y su convergencia. El concepto de algoritmo. Optimización sin restricciones. Penalidad y funciones barrera. Métodos de direcciones factibles. Métodos de Zoutendijk. Programación lineal sucesiva, programación cuadrática sucesiva. Enfoque del Lagrangiano proyectado. Método del Gradiente proyectado. Gradiente reducido. Gradiente reducido generalizado. Método Convex-Simplex.

• Bazaraa, M.; Sherali, H. and Shetty, C. Nonlinear programming. Theory and Algorithms. Wiley, 1993.
• Fletcher , R. Practical Methods of Optimization, Vols. 1 y 2. Wiley, 1981.
• Avriel, M., Nonlinear Programming. Analysis and Methods. Prentice-Hall, 1976.

Duración: 15 semanas (90 hs.).

2 Cursos de Especialización

Espacios vectoriales topológicos. Distribuciones. Transformada de Fourier. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales.

• G., Bachman y L. Narici, ``Functional analysis'', Academic Press, (1966).
• A. Mukherjea y K. Pothoven, ``Real and functional analysis'', Plenum Press (1978).
• J.F.C. Kingman y S.J. Taylor: ``Introduction to Measure and Probability'', Cambridge Univ. Press, 1977.
• E. Hewit y K. Ross, ``Abstract harmonic analysis'', Springer Verlag (1970).
• E. Stein, ``Singular integrals and differentiability properties of functions'', Princeton Univ. Press (1970).
• W. Rudin, ``Functional analysis'', Mc Graw - Hill, (1973).
• J. Conway, ``A course in functional analysis'', Springer Verlag (1985).

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacios normados. Espacios Lp. Espacios de Hilbert. Operadores compactos. Espacios de Sobolev 1-dimensional. Espacios de Sobolev N-dimensionales. Formulación variacional de problemas de contorno elípticos. Teoría de semigrupos y ecuaciones de evolución.

• H. Brezis: ``Análisis funcional y aplicaciones'', Alianza Editorial. Madrid, 1984.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

La función maximal sostenida (sharp) y el espacio de funciones de oscilación media acotada (BMO). Desigualdades en norma con pesos. Operadores que actúan sobre funciones con valores vectoriales. Teoremas de factorización y desigualdades en norma con pesos. Transformadas de Hilbert direccionales.

• García Cuerva y J.L. Rubio de Francia: ``Weighted norm inequalities and related topics'', North Holland Math. Studies 116, Amsterdam (1985).

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Analiticidad de soluciones. Soluciones fundamentales. Formula de Green. Principio del máximo para funciones armónicas. Problema de Cauchy. Teorema de Cauchy Kovalevska. Teorema de Holmgren. Problemas de Contorno. Problema de Dirichlet. Forma variacional. Espacio de Sobolev.

• F. Treves, ``Basic linear partial differential equations'', Academic Press, N.Y. (1975).\
• F. Riesz, B. Sz. Nagy; ``Functional analysis''. UNGAR, New York (1978).
• W. Walter, ``Differential and integral inequalities'', Springer Verlag, Berlin (1970).
• H. Weinberger, ``Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales'', MIR, Moscu (1977).
• V.P. Mijailov, ``Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales'', MIR, Moscu (1978).
• Courant-Hilbert, ``Method of mathematical physics'', Vol II., Interscience, New York (1953).
• J.E. Bouillet - C. Atkinson, ``A generalized diffusion equation radial symmetries and comparison theorems'', J. Math. Anal. and Applications. V. 59, Nro. 1, (1983).
• C. Atkinson - J.E. Bouillet, ``Some qualitative properties of solutions of a generalized diffusion equation'', Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 86 (1979).

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Problema de la mejor aproximación. Aproximación de Chebychev.

Aproximación por núcleos de convolución. Teoremas inversos.

• G. G. Lorentz, ``Approximation of Functions'', Holt, Rinehart & Winston, New York, 1966.
• H. S. Shapiro, ``Topics in Approximation Theory'', Springer Verlag, Berlin, Heidelberg - N.Y., 1971.
• H. S. Shapiro, ``Smoothing and Approximation of Functions'', Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1969.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacios de Hilbert. Transformada de Fourier. Espacios de Sobolev.

Teorema de inmersión y de trazas. Espacios de interpolación. Operadores elípticos. Formulación Débil de problemas.

• J. K. Oden, ``An introduction to the mathematical theory of finite elements'', Wiley-Interscience 1976.
• S. Agmon, ``Lectures on Elliptic boundary value problems'', Van Nostrand 1965.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Potenciales de capa simple y doble. Problemas de Dirichlet y Neumann. Espacios de tipo homogéneo. Propiedades básicas. Ejemplos y aplicaciones. Función maximal de Hardy-Littlewood. Integrales Singulares. Clases Ap. Espacios BMO. El teorema T1 de David y Journe.

• J. García-Cuerva y J.L. Rubio de Francia: ``Weighted norm inequalities and related topics'', Math. Studies 116, Notas de Matematica, North-Holland, 1985.
• A. Torchinsky: ``Real-variable methods in harmonic analysis'', Academic Press, 1986.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Transformada de Fourier en L1 y en L2. Funciones armónicas. Integrales de Poisson. Interpolación de operadores en espacios Lp. Teorema de Riesz-Thorin. Teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Condiciones de Kolmogorov y Zygmund. La función maximal de Hardy-Littlewood. Aplicación a las integrales de Poisson. El espacio BMO. Teoremas ergódicos. Integrales singulares. La transformada de Hilbert en L2. Teoría Lp y BMO. Integrales singulares de Calderón y Zygmund. Convergencia puntual. Extensión a medidas con pesos.

• C. Sadosky: ``Interpolation of operators and singular integrals. An introduction to harmonic analysis''. Pure and Applied Math. Series. Marcel Dekker, Inc. N. Y. 1979.

Duración: 15 semanas (90 hs).

Semigrupos fuertemente continuos. Teorema de Hille-Yosida. Teorema de Kumer-Phillips. Caracterización de generadores infinitesimales. Inversión de la transformada de Laplace. Seudoresolventes. Semigrupos duales. Teoremas espectrales. Semigrupos compactos y analíticos. Potencias fraccionarias de operadores cerrados. Problemas de Cauchy abstractos. regularidad de las soluciones. Subespacios invariantes y admisibles.

• A. Pazy, " Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations", Second printing, Springer Verlag, 1983.
• R. Curtain and A. Pritchard, "Infinite Dimensional Linear system Theory", Lectures Notes in Control and Information Sciences, 8, Springer Verlag, 1983.
• H. Brezis,M. G. Crandall and F. Kappel (Editors), " Semigroups, Theory and Applications", Volume II, Pitman Notes in Mathematical Series 152, Longman Scientific & Technical, 1986.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Introducción al método de elementos finitos para problemas elípticos. Teoría de interpolación y estimaciones de error. Métodos para la resolución de los sistemas algebraicos. Métodos no conformes y mixtos y sus aplicaciones. Elementos finitos para ecuaciones parabólicas.

• P.G. Ciarlet: ``The Finite Element Method for Elliptic Problems'', North Holland, 1978.
• C. Johnson: ``Numerical Solution of P.D.E. by the Finite Element Method'', Cambridge University Press, 1995.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Ejemplos introductorios. Problema de obstáculo. Problema de filtración de líquidos en medios porosos. Problema de torsión de una barra. Análisis de la frontera libre en el

problema del obstáculo.

• A. Friedman ``Variational inequalities and free boundary problems''. 1993.
• D. Kinderlehrer y G. Stampacchia, ``An introduction to variational inequalities and their applications''. 1983

Duración: 15 semanas (90 hs.).

Ejemplos motivadores. Conceptos de la teoría de istemas en dimensión infinita. Semigrupos fuertemente continuos. Semigrupos contractivos y duales. Operadores espectrales de Riesz. El problema de Cauchy Abstracto. Perturbaciones y sistemas compuestos. Sistemas con controles en la frontera. Controlabilidad y observabilidad. Funciones de entrada-salida. Estabilidad, estabilizabilidad y detectabilidad. El problema LQR.

• F. Curtain and H. J. Zwart, "An Introduction to Infinite Dimensional Linear System Theory", Texts in Applied Mathematics 21, Springer verlag, 1995.
• A. Bensoussan, G. Da Prato, M. Delfour and S. Mitter, "Representation and Control of Infinite Dimensional Systems", Systems and control: Foundations and Applications, Birkhäuser, 1992.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacio H1. Transformada de Hilbert. Formula de Poisson en el

semiplano superior. Espacios Hp. La función maximal de Hardy y Littlewood. Átomos en Hp(R). Espacios de tipo homogéneo. Espacios Hp.

• P. Koosis: ``Introduction to Hp Spaces''.
• R.R. Coifman y G. Weiss: ``Extensions of Hardy Spaces and their use in Analysis'', Bulletin of the AMS, Vol. 83, Nro.4.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Funciones de distribución. Variables aleatorias. Independencia. Convergencia de medidas de probabilidad. Leyes de los grandes números. Esperanza condicional y teorema de Radon-Nikodym. Procesos de Markov y Martingalas. Funciones características. Teorema del limite central.

• K.L. Chung: ``A course in probability theory'', Academic Press, New York (1968).

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Espacios de Hilbert. Operadores acotados. Operadores con espectro

discreto. Operadores no acotados. Operadores diferenciales. Perturbación del espectro.

• K.O. Friedrichs: ``Spectral Theory of Operators in Hilbert Space'', Applied Mathematical Sc. Vol. 9, 1973.

Duración: 15 semanas (90 hs.).

Convergencia puntual, operadores maximales. Interpolación, extrapolación. Operadores de convolución. Lema de Cotlar, métodos de transferencia. Diferenciación. Bases de intervalos y de rectángulos. Aproximaciones de la identidad e integrales singulares. Funciones de oscilación media acotada. El teorema T1. Aplicaciones.

• M. de Guzman: ``Real Variable Methods in Fourier Analysis'', North Holland, 1981.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Controlabilidad y observabilidad: Ecuaciones diferenciales lineales, la matriz de controlabilidad, la condición del rango, clasificación de los sistemas de control, la descomposición de Kalman. Estabilidad y estabilizabilidad: Sistemas lineales estables, polinomios estables, teorema de Routh, la ecuación de Liapunov. Detectabilidad y observadores dinámicos. Teoría de realización: Respuesta impulsional y funciones de transferencia. Realizaciones de la función de respuesta impulsional. Caracterización de las funciones de transferencia. Sistemas de control no lineales: Controlabilidad, observabilidad, estabilidad, estabilizabilidad, teoría de realización.

• J. Zabczyk, "Mathematicall Control Theory", Systems and Control: Foundations and Applications, Birkhäuser, 1992.
• E. Sontag, "Mathematical Control Theory: Deterministic, Finite Dimensional Systems", Texts in Applied Mathematics, 6, Springer Verlag, 1990.

Duración: 15 semanas (90 hs.)

Algunos ejemplos de problemas elípticos con datos en el borde: minimización de energía, área, problemas de elasticidad, problema de placas. El método de elementos finitos: métodos de Galerkin y Ritz. Consideraciones de convergencia: estimaciones de error en espacios de Sobolev para distintas familias de elementos. Efectos de los errores por cuadraturas. Lema de Bramble-Hilbert. Elementos isoparamétricos y aplicaciones a dominios con borde curvo. Elementos no conformes. Aplicaciones a algunos problemas no lineales: Problema del obstáculo, superficies mínimas.

• P.G. Ciarlet: ``The finite element method for elliptic problems'', North Holland, 1978.
• A.R. Aziz (ed): ``The mathematical foundations of the finite element method with applications to partial differential equations''. Academic Press, 1972.
• G. Strang y G.J. Fix: ``An Analysis of the Finite Element Method'', Prentice Hall, 1973.

Duración: 15 semanas (90 hs.)