gladis.pradolini@gmail.com
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)Carácter de la asignatura: Obligatoria
Periodo de dictado: Segundo cuatrimestre
Número de semanas que dura el curso: 14
Carga horaria total: 120
Introducirse en la teoría de medida e integración abstracta haciendo especial enfásis en la medida de Lebesgue. Se estudiarán los espacios de Lebesgue como ejemplos fundamentales de espacios de Banach y Hilbert y se desarrollarán los teoremas fundamentales de la teoría de la medida.
Semana | Temas a desarrollar |
---|---|
1 | Medidas. Introducción. Algebras y σ-álgebras. Ejemplos. La σ-álgebra de Borel sobre la recta real. La σ-álgebra producto. Medida: definición y ejemplos. Medida de probabilidad. Propiedades de la medida. Medida completa |
2 | Medida exterior. El Teorema de Carathéodory. Premedida sobre un álgebra. Extensión de una premedida sobre un álgebra a una medida. Medida de Borel sobre la recta real. |
3 | Premedida asociada a una función creciente y continua por derecha. La medida de Lebesgue-Stieltjes sobre R asociada a una función. La función distribución de una medida. Regularidad de la medida. Caracterización de los conjuntos medibles Lebesgue - Stieltjes sobre R. Conjuntos medibles-Lebesgue sobre R. Comportamiento bajo traslaciones y dilataciones. |
4 | El conjunto de Cantor. La función de Cantor. Funciones medibles. Continuidad y medibilidad. Caracterización de funciones medibles a valores en R. Funciones medibles-Lebesgue sobre R. Funciones medibles a valores en un espacio producto. |
5 | Suma, producto y cociente de funciones medibles. Máximo, mínimo y módulo de funciones medibles. Límite de funciones medibles. Funciones simples.Funciones medibles no negativas. Teoremas de convergencia de funciones simples. |
6 | Integración de funciones simples. Propiedades. La integral ed funciones no negativas. Propiedades. Teoremas de convergencia Monótona y lema de Fatou. |
7 | Integración de funciones complejas. El espacio de las funciones integrables L_µ^1. Teorema de la convergencia Dominada. (Primer Parcial) |
8 | Completitud y densidad de funciones en L_µ^1. Comparación de la integral de Riemann con la de Lebesgue. Convergencia en medida. Convergencia en L_µ^1. Convergencia en medida y convergencia en casi todo punto. |
9 | Convergencia uniforme. El Teorema de Egorov y el Teorema de Lusin. Medida producto. Propiedades. Ejemplo: medida de Lebesgue sobre R^n. |
10 | Teorema de Fubini-Tonelli. Teorema de Fubini-Tonelli para medidas completas. Medida de Lebesgue sobre Rn. Propiedades. Caracterización de conjuntos medibles Lebesgue. El espacio de las funciones integrables Lebesgue. |
11 | Teoremas de cambio de variables de funciones integrables Lebesgue. Integración en coordenadas polares. Ejemplos. La función Gamma. |
12 | El espacios L_µ^p. El espacio L_µ^∞. Completitud y densidad. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Dualidad. La función distribución. |
13 | Diferenciación en espacios euclídeos. La función maximal de Hardy-Littlewood. El teorema de diferenciación de Lebesgue. |
14 | Funciones de variación acotada. VariaciónTotal. Descomposición de Jordan. Funciones absolutamente continuas. El teorema Fundamental del Cálculo para integrales de Lebesgue. (2do. Parcial) |
Entrega de problemas de las practicas asignado especialmente a cada alumno. Total de entregas: 7
Aprobación de dos exámenes parciales sobre problemas prácticos con porcentaje mayor o igual a 58% en cada uno y un examen globalizador teórico aprobado con al menos el 60%. La nota final NF será calculada como
NF= 1/4 P1+1/4 P2 + 1/2 G, (P1: nota primer parcial; P2: nota segundo parcial, G: nota examen globalizador)