UNIVERSIDAD NACIONAL DEL LITORAL   |   FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA 
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Analisis Real II


Profesor responsable

Plantel docente que participa en el dictado

Carácter de la asignatura: Obligatoria

Periodo de dictado: Segundo cuatrimestre

Número de semanas que dura el curso: 14

Carga horaria total: 120

Objetivos

Introducirse en la teoría de medida e integración abstracta haciendo especial enfásis en la medida de Lebesgue. Se estudiarán los espacios de Lebesgue como ejemplos fundamentales de espacios de Banach y Hilbert y se desarrollarán los teoremas fundamentales de la teoría de la medida.

Cronograma de desarrollo de actividades-temas

SemanaTemas a desarrollar
1Medidas. Introducción. Algebras y σ-álgebras. Ejemplos. La σ-álgebra de Borel sobre la recta real. La σ-álgebra producto. Medida: definición y ejemplos. Medida de probabilidad. Propiedades de la medida. Medida completa
2Medida exterior. El Teorema de Carathéodory. Premedida sobre un álgebra. Extensión de una premedida sobre un álgebra a una medida. Medida de Borel sobre la recta real.
3Premedida asociada a una función creciente y continua por derecha. La medida de Lebesgue-Stieltjes sobre R asociada a una función. La función distribución de una medida. Regularidad de la medida. Caracterización de los conjuntos medibles Lebesgue - Stieltjes sobre R. Conjuntos medibles-Lebesgue sobre R. Comportamiento bajo traslaciones y dilataciones.
4El conjunto de Cantor. La función de Cantor. Funciones medibles. Continuidad y medibilidad. Caracterización de funciones medibles a valores en R. Funciones medibles-Lebesgue sobre R. Funciones medibles a valores en un espacio producto.
5Suma, producto y cociente de funciones medibles. Máximo, mínimo y módulo de funciones medibles. Límite de funciones medibles. Funciones simples.Funciones medibles no negativas. Teoremas de convergencia de funciones simples.
6Integración de funciones simples. Propiedades. La integral ed funciones no negativas. Propiedades. Teoremas de convergencia Monótona y lema de Fatou.
7Integración de funciones complejas. El espacio de las funciones integrables L_µ^1. Teorema de la convergencia Dominada. (Primer Parcial)
8Completitud y densidad de funciones en L_µ^1. Comparación de la integral de Riemann con la de Lebesgue. Convergencia en medida. Convergencia en L_µ^1. Convergencia en medida y convergencia en casi todo punto.
9Convergencia uniforme. El Teorema de Egorov y el Teorema de Lusin. Medida producto. Propiedades. Ejemplo: medida de Lebesgue sobre R^n.
10Teorema de Fubini-Tonelli. Teorema de Fubini-Tonelli para medidas completas. Medida de Lebesgue sobre Rn. Propiedades. Caracterización de conjuntos medibles Lebesgue. El espacio de las funciones integrables Lebesgue.
11Teoremas de cambio de variables de funciones integrables Lebesgue. Integración en coordenadas polares. Ejemplos. La función Gamma.
12El espacios L_µ^p. El espacio L_µ^∞. Completitud y densidad. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Dualidad. La función distribución.
13Diferenciación en espacios euclídeos. La función maximal de Hardy-Littlewood. El teorema de diferenciación de Lebesgue.
14Funciones de variación acotada. VariaciónTotal. Descomposición de Jordan. Funciones absolutamente continuas. El teorema Fundamental del Cálculo para integrales de Lebesgue. (2do. Parcial)

Bibliografía

Requisitos para obtener la regularidad

Entrega de problemas de las practicas asignado especialmente a cada alumno. Total de entregas: 7

Régimen de promoción de la asignatura

Aprobación de dos exámenes parciales sobre problemas prácticos con porcentaje mayor o igual a 58% en cada uno y un examen globalizador teórico aprobado con al menos el 60%. La nota final NF será calculada como

NF= 1/4 P1+1/4 P2 + 1/2 G, (P1: nota primer parcial; P2: nota segundo parcial, G: nota examen globalizador)

Carreras a las que pertenece

Materias correlativas

Tribunal Examinador