Departamento de Matemática FIQ-UNL

Ministerio de Educación
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL LITORAL
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
Departamento de Matemática

Santiago del Estero 2829 – TE: 0342-4571164 (int. 2544)
3000 Santa Fe - Argentina

Planificación de Analisis Real II

Carreras a las que pertenece

Licenciatura en Matemática Aplicada (obligatoria)

Correlatividades

Análisis Real I
Probabilidad

Periodo de dictado

Segundo cuatrimestre

Número de alumnos estimado

Número de semanas que dura el curso

Carga horaria total

Profesor responsable

Pradolini, Gladis

Plantel docente que participa en el dictado

Marcos, Miguel Andrés
Pradolini, Gladis

Carga horaria semanal de docentes

Docente	Tipo de clase	Número de comisiones planificadas	Cantidad de horas semanales
Marcos, Miguel Andrés
Pradolini, Gladis

Tribunal Examinador

Titulares:
- Gladis Pradolini
- Roberto Scotto
- Osvaldo Gorosito
Suplentes:
- Oscar Salinas
- Beatriz Viviani

Objetivos

Introducirse en la teoría de medida e integración abstracta haciendo especial enfásis en la medida de Lebesgue. Se estudiarán los espacios de Lebesgue como ejemplos fundamentales de espacios de Banach y Hilbert y se desarrollarán los teoremas fundamentales de la teoría de la medida.

Cronograma de desarrollo de actividades-temas

Semana	Temas a desarrollar
1	Medidas. Introducción. Algebras y σ-álgebras. Ejemplos. La σ-álgebra de Borel sobre la recta real. La σ-álgebra producto. Medida: definición y ejemplos. Medida de probabilidad. Propiedades de la medida. Medida completa
2	Medida exterior. El Teorema de Carathéodory. Premedida sobre un álgebra. Extensión de una premedida sobre un álgebra a una medida. Medida de Borel sobre la recta real.
3	Premedida asociada a una función creciente y continua por derecha. La medida de Lebesgue-Stieltjes sobre R asociada a una función. La función distribución de una medida. Regularidad de la medida. Caracterización de los conjuntos medibles Lebesgue - Stieltjes sobre R. Conjuntos medibles-Lebesgue sobre R. Comportamiento bajo traslaciones y dilataciones.
4	El conjunto de Cantor. La función de Cantor. Funciones medibles. Continuidad y medibilidad. Caracterización de funciones medibles a valores en R. Funciones medibles-Lebesgue sobre R. Funciones medibles a valores en un espacio producto.
5	Suma, producto y cociente de funciones medibles. Máximo, mínimo y módulo de funciones medibles. Límite de funciones medibles. Funciones simples.Funciones medibles no negativas. Teoremas de convergencia de funciones simples.
6	Integración de funciones simples. Propiedades. La integral ed funciones no negativas. Propiedades. Teoremas de convergencia Monótona y lema de Fatou.
7	Integración de funciones complejas. El espacio de las funciones integrables L_µ^1. Teorema de la convergencia Dominada. (Primer Parcial)
8	Completitud y densidad de funciones en L_µ^1. Comparación de la integral de Riemann con la de Lebesgue. Convergencia en medida. Convergencia en L_µ^1. Convergencia en medida y convergencia en casi todo punto.
9	Convergencia uniforme. El Teorema de Egorov y el Teorema de Lusin. Medida producto. Propiedades. Ejemplo: medida de Lebesgue sobre R^n.
10	Teorema de Fubini-Tonelli. Teorema de Fubini-Tonelli para medidas completas. Medida de Lebesgue sobre Rn. Propiedades. Caracterización de conjuntos medibles Lebesgue. El espacio de las funciones integrables Lebesgue.
11	Teoremas de cambio de variables de funciones integrables Lebesgue. Integración en coordenadas polares. Ejemplos. La función Gamma.
12	El espacios L_µ^p. El espacio L_µ^∞. Completitud y densidad. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Dualidad. La función distribución.
13	Diferenciación en espacios euclídeos. La función maximal de Hardy-Littlewood. El teorema de diferenciación de Lebesgue.
14	Funciones de variación acotada. VariaciónTotal. Descomposición de Jordan. Funciones absolutamente continuas. El teorema Fundamental del Cálculo para integrales de Lebesgue.
15	Repaso. (Segundo Parcial)

Bibliografía

G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1999).
N. Fava, F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue, 1 a. Edición (1996), ISBN: 987-9072-16-2.
R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and integral. An introduction to Real Analysis (1977).

Requisitos para obtener la regularidad

Entrega de problemas de las practicas asignado especialmente a cada alumno. Total de problemas: 7

Régimen de promoción de la asignatura

Aprobación de dos exámenes parciales sobre problemas prácticos con porcentaje mayor o igual a 55% en cada uno y un examen globalizador teórico aprobado con al menos el 60%. La nota final NF será calculada como
NF= 1/4 P1+1/4 P2 + 1/2 G, (P1: nota primer parcial; P2: nota segundo parcial, G: nota examen globalizador)

Firma del docente responsable